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小升初奥数离散最值问题解析

来源:石家庄奥数网整理      2011-08-03 18:24:48

  数学学习中,经常做的一件事就是求值,求值问题中有一类是在一定条件下求最大值或最小值,这类问题有很强的实际应用价值。最大值最小值问题五花八门,涉及的知识很广泛。

  例1:一个长方形周长为20厘米,要使它的面积最大,这个长方形的长、宽各是多少厘米?

  分析与解答:

  分析:长方形的面积=长×宽,要使长方形的面积最大,即长、宽的乘积最大。长与宽的和是其周长的一半,即10厘米。注意,两个数和一定时,其差愈小,则其积愈大。于是,当长方形的长与宽相等时,即该长方形边长是5厘米的正方形时,面积最大。

  解答:长和宽的和=20÷2=10(厘米)

  长、宽分别是10÷2=5(厘米)时长方形面积最大

  答:这个长方形的长、宽各是5厘米。

  说明:一般地,我们有如下结论:(1)若两个数的和为定值,则两个数相等时,乘积最大;(2)在周长相等的长方形中,正方形的面积最大;在周长相等边数也相等的多边形中,正多边形的面积最大。而且周长相等的正多边形中,边数愈多的正多边形面积愈大。当边数无限地增多时,多边形愈来愈接近圆。因此,在周长一定的条件下,正三角形面积<正方形的面积<正五边形<…<圆面积。

  例2:不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少?

  分析与解答:

  分析:解答本题的关键在于找到一个偶数,证明比它大的所有偶数都可以表示为两个不同的奇合数的和,而这个偶数不能表示为两个不同的奇合数的和。

  注意,两个最小的奇合数为9和15,因而小于24的偶数一定不能表示为两个不同的奇合数之和,即只要在比24大的偶数中寻找。

  由于比15大的最小的奇合数为21,9+21=30,于是可以从32开始寻找:32不能表示为两个不同的奇合数的和,34=9+25,36=9+27,38也不能表示为两个不同的奇合数的和;40=15+25,42=15+27,44=9+35,46=21+25,48=33+15…注意到在上面的40、42、44、46和48的算式中均有一个奇合数为5的倍数,而比48大的偶数总可以由40、42、44、46、48其中之一加上10的倍数得到,将这个10的倍数与上面的5的倍数的奇合数合在一起,得到一个新的奇合数,所以比38大的每一个偶数都可以写成两个不同的奇合数的和。由此,38是不能写成两个不同奇合数之和的最大偶数。

  说明:枚举、筛选是一种既重要又基本的数学思想,熟练地掌握它,有利于我们解题。

  例3:两个四位数,每一个的各位数字互不相同,如果它们的差是1999,那么它们的和的最大值是多少?

  分析与解答:

  分析:要想使两个四位数的和最大,那么这两个数高位上的数越大越好。

  不妨设这两个四位数为abcd、efgh。(a≠b≠c≠d;e≠f≠g≠h),根据题意就得到:

  若令abcd+efgh的值最大,那么就有

  a+e>b+f>c+g>d+h.

  如果a=9,e=8,显然此题无解。只能是a=9,e=7,则b=8,f=8,c=6,g=6,d=4,h=5,符合题意。

  因此这两个四位数的最大值是9864+7856=17729。

  说明:最小中求最大或最大中求最小是离散最值问题较典型的题目。

  例4:某学习小组有4名女生、2名男生。在一次考试中,他们做对试题的数量各不相同,最多对10题,最少对4题;女生中做对最多的比男生做对最少的多4题,男生中做对最多的比女生中做对最少的多4题。男生中做对最多的人对了几道题?

  分析与解答:

  分析:本题的关键是分析它们的数量关系,根据数量关系进行推理。

  由题意可知共计有4+2=6名同学,由这6名同学做对试题的数量各不相同,且最多的对10题,最少对4题可知:6名同学做对的题数只能是4、5、6、7、8、9、10中的六个数。

  若做对最少的是男生,即男生做对最少的是对4道题,则女生做对最多的对8道题(4+4=8),所以男生做对最多的对10题。

  由女生做对最多的对8题可知:女生4名同学分别对5、6、7、8道题。因为10-5=5道,与已知男生做对最多的比女生做对最少的多4题矛盾,由此否定男生是做对最少的。

  若做对最少的是女生,即女生做对最少的是对4题,则男生做对最多的对8题(4+4=8),所以女生做对最多的对10题,则男生做对最少的对6题(10-4=6)。

  因此4名女生做对的题数可能是4、5、7、10;4、5、9、10;4、7、9、10。男生做对的题数是6、8,于是男生中做对最多的对8题。

  说明:本题选自1999年全国小学数学奥林匹克决赛试题,相信此题会给小读者们一些启迪。

  例5:20=10+10=5+5+10=1+2+3+4+5+5=1+1+…+1,这说明20可用多种形式写成若干个自然数之和。在每种写法中,将这种写法所包含的所有自然数相乘,问乘积的最大值是多少?

  分析与解答:

  分析:把20的各种拆法一一列举出来,并且计算每一种情况下各加数的乘积,从中找出最大的,这当然是一种方法,但是工作量较大。

  容易想到,加数中有1是不利的,因为1与其他数相乘时,1起不到作用。这就是说,为求最大乘积,各加数中不应当有1。

  加数中如果有4,可进一步拆成两个2,这是因为2×2=4,计算乘积时把一个4换成两个2不影响结果。因此,我们可以使加数中不含4。

  如果加数中有3个或3个以上的2,不如把3个2换成两个3。这是因为2+2+2=3+3,但2×2×2<3×3;如果加数中有7,不如改为3+2+2;…;如果加数中有5——10中的某数,总可以把它们拆成若干个3与不多于3个2之和,这样会使乘积变大。

  解:20=2+3+3+3+3+3+3,所求的最大乘积是2×3×3×3×3×3×3=1458。

  说明:一般地,对自然数N进行拆分时,为了使所有加数之乘积最大,我们总要使加数中不含1,不含4或4以上的自然数,不含3个或3个以上的2,使所有加数的乘积最大的拆分办法是唯一确定的。

  例6:连续自然数1、2、…、N[N>50]。如果从中任取50个数,都能从中找到两个数,使这两个数的差等于7。问N的最大值是多少?

  分析与解答:

  分析:我们可以这样考虑:(1,8),(2,9),(3,10),…,(7,14),(15,22),(16,23),…,(21,28),(29,36),(30,37),…,(35,42),…,(85,92),(86,93),…,(91,98)。容易看到,1,2,…,98中每个数都出现一次而且只出现一次,共49组。

  解:根据抽屉原则知,从1,2,…,98中任取50个数,其中至少有两个数取自上述49组中的同一组,而同一组中的两个数相差7,因此N的最大值是98。

  说明:最大最小问题题型十分丰富,解答这类问题有利于提高同学们的分析能力,有利于培养同学们灵活、科学运用知识的能力。

  例7:已知算术式abcd-efgh=1996,其中abcd和efgh均为四位数,a、b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的八个不同数字。问abcd与efgh之和的最大值与最小值的差是多少?

  分析与解答:

  分析:如果b不借位,那么b也不能退位,并且b=9,f=0,这时必有c=9,g=0,不符合题意,因此b必须借位。但是,这时b又不能退位,否则(10+b-)-f=9,即b=f,不符合题意。

  所以必有c=9,g=0,并且(a-1)-e=1,(10+b)-f=9,d-h=6。即a=e+2,b=f-1,d=h+6。又知abcd+efgh=abcd+(abcd-1996)=2abcd-1996,要求abcd+efgh的最大值,abcd须尽可能的大,则a应尽可能大,所以a=8,则e=6;其次b尽可能大,取b=4,则f=5;最后必有d=7,h=1。

  解:当abcd=8497,efgh=6501时,它们的和值最大,为8497+6501=14998。

  同理可知,它们的和值最小是3498+1502=5000。

  所以最大值与最小值的差为14998-5000=9998。

  说明:把这道题写成竖式的形式便于解答。

  例8:将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张正方形卡片排成一排,发现恰好是一个能被11整除的最大的九位数。请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程。

  分析与解答:

  分析:本题应用整体考虑局部调整的方法。

  解:我们知道,用1、2、3、4、5、6、7、8、9排成的最大九位数是987654321,但这个数不是11的倍数,所以应适当调整,寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数。

  设奇数位数字之和为x,偶数位数字之和为y,则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

  由被11整除的判别法知x-y=0,11,22,33,44。

  但x+y与x-y的奇偶性相同,而x+y=45是奇数,所以x-y也只能是奇数值11或33。于是有:

  (Ⅰ)  x+y=45          (Ⅱ)  x+y=45

  x-y=11                  x-y=33

  由(Ⅰ)解得x=28,y=17;由(Ⅱ)解得x=39,y=6,但此时所排九位数的偶位数字和最小为1+2+3+4=10>6,所以(Ⅱ)的解不合题意,应该排除。由此只能取x=28,y=17。

  987654321的奇数位数字和为25,偶数位数字和为20,所以必须调整数字,使奇数位的数字之和增3,偶数位数字之和减3才行。为此调整最后四位数码,排成987652413即为所求。

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