小升初奥数中的牛吃草的问题

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是小升初奥数中经常出现的一种题型。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

　　解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：

　　(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数)；

　　(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；`

　　(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)；

　　(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

　　这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

　　例子：

　　一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？

　　摘录条件：27头6天原有草+6天生长草

　　23头9天原有草+9天生长草21头？天原有草+？天生长草

　　解答：这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15

　　现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？

　　(27-15)×6=72

　　那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207

　　每天生长草量45÷3=15

　　原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72

　　21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12(天)

　　方程解答：

　　在学习到方程。这题目很容易解决。

　　利用以上例子我们有以下解法：

　　方程解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。

　　那么可以列方程：

　　x+6y=27×6

　　x+9y=23×9

　　解得x=72，y=15

　　若放21头牛，设n天可以吃完，则：

　　72+15n=21nn=12天