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小升初奥数中的牛吃草的问题

来源:石家庄奥数网整理      2011-09-21 10:58:31

  牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是小升初奥数中经常出现的一种题型。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

  解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是:

  (1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

  (2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

  (3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

  (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

  这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

  这类问题的基本数量关系是:

  1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

  2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

  例子:

  一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽?

  摘录条件:27头6天原有草+6天生长草

  23头9天原有草+9天生长草21头?天原有草+?天生长草

  解答:这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1",由条件可知,前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢?这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的,所以每天生长的青草为45÷3=15

  现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?

  (27-15)×6=72

  那么:第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207

  每天生长草量45÷3=15

  原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72

  21头牛分两组,15头去吃生长的草,其余6头去吃原有的草那么72÷6=12(天)

  方程解答:

  在学习到方程。这题目很容易解决。

  利用以上例子我们有以下解法:

  方程解答:假设原来有的草为x份,每天长出来的草为y份,每头牛每天吃草1份。

  那么可以列方程:

  x+6y=27×6

  x+9y=23×9

  解得x=72,y=15

  若放21头牛,设n天可以吃完,则:

  72+15n=21nn=12天

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