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华杯赛知识点分布及难度分布

来源:石家庄奥数网整理      2011-11-28 14:27:43    标签:华杯赛 杯赛试题

  构造论证与最值:

  一、整体比重

  构造论证、极值问题在华杯赛中还是占有相当的比重。从十四、十五届决赛试卷来看,整体比重在16.7%。如第十届的第3和12题,十五届的9和11题,考的都是这种类型的试题。

  二、知识点分布以及难度分布

  构造论证、极值问题等问题考察知识点比较分散,从最近四年的试题来看,考察过的知识点主要有:

  1、等差数列估算和极值问题;

  2、操作问题-----划数、最大值最小值;

  3、逻辑推理-----足球赛、数独;

  4、构造问题------相间染色。

  【考察难度】

  所考知识点以中等试题为主,含个别难题,试题以3★、4★为主。学生基本上能下手,但是真正要得满分,还是需要加强各方面的训练!

  【如何备战】

  这类试题着眼于学生的逻辑分析能力,分类讨论能力,需要学生具备很强的综合能力。在具体备战的时候需要我们学生重点做到以下三点:

  1、对比历届试卷(重点以最近四届为主),总结相应知识模块、沉淀出相应的方法;

  2、重点培养分类讨论、逻辑分析能力;

  3、重点攻破《第16届华杯赛赛前教程》相应知识模块,建议做前70%的试题;

  4、训练这些试题的解题规范。

  【最近四届试题分析】

  [15届决赛]右图中有5个由4个1×1的正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗?如果能,请画出一种拼法;如果不能,请简述理由。

  【答案】不能

  【知识点】染色分析+奇偶性分析

  【分析】将长方形黑白染色,将5个图形也进行黑白染色,如下图

  除④号盖住3个黑的或者1个黑的,其它均盖住一黑一白,所以5个纸板只能盖住11个黑的或者9个黑的。矛盾!

  【总结】此类题目难度不大,基本方法也是常规的黑白相间染色。但是对解题的步骤有很高的要求!

  [15届决赛]足球队A,B,C,D,E进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分,若A,B,C,D队总分分别是1,4,7,8,请问:E队至多得几分?至少得几分?

  【答案】7、5

  【知识点】逻辑推理---足球赛

  【分析】假设ABCDE5支队伍总分为abcde,则五队总分为a+b+c+d+e=20+e。易知单循环赛共10场,总得分不会超过30分。只要有一场比赛踢平,则总得分减少1分。A队一定是3负1平;B队有可能是4平或者1胜1平2负;C队一定是2胜1平1负;D队一定是2胜2平。所以比赛至少有 3场平局,至多有5场平局。最后总得分最多27分,最少25分。对应的E队伍最多7分,最少5分。

  【总结】对这类题,考的是足球赛中的一些常识。需要我们学生对基本的结论很清楚。如总的场次、总分和平局数量的关系等等。

  [14届决赛]将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”。删去这个数中所有位于奇数位(从左往右数)上的数字后组成一个新数;再删去新数中所有位于奇数位上的数字;按照上述方法一直删除下去知道剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是 ______。

  【答案】2

  【知识点】操作---划数

  【分析】通过找规律可以发现,第一次留下的数是编号为2的倍数的数,第二次留下的数是编号为4的倍数的数,依次类推,到最后留下的数应该是最接近 2009的,而且能写成2n形式的数,应为第1024个,7个数为一个周期,1024÷7=146…2。对应周期的第二个数为2。。

  【总结】题目本身看着很难,但是通过找规律可以快速的找到方法。有的时候碰到很复杂的试题的时候,不妨通过找规律的方法哦。

  [14届决赛]在50个连续的奇数1,3,5,…,99中选取k个数,使得它们的和为1949,那么k的最大值是多少?

  【答案】43

  【知识点】极值问题---等差数列

  【分析】要使得个数尽量多,选的数尽量小即可。考虑前n个奇数的和1+3+5+…+(2n-1)=n2.

  452=2025,442=1936。所以选的个数不能超过44个。但44个奇数的和必为偶数,矛盾!这样一来,最多只能取43个,而事实上是可以是实现的。只需要从1,3,5,89删去两个奇数即可!满足它们的和为89即可!

  【总结】此题难度较大,需要学生具备估算能力、奇偶分析能力。

  [13届决赛]黑板上写着1至2008共2008个自然数,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数可能的最大值和最小值的差是______。

  【答案】2005

  【知识点】极值问题---操作类

  【分析】先求剩下的最大值,那么擦去的数应该尽量小,

  首先擦去1,3,写上2,

  擦去2,2,写生2,

  擦去2,4,写上3,

  ……

  擦去2006,2008,写上2007;

  同理可知剩下的数最小为2。

  所以最大值和最小值的差为2005。

  【总结】此题需要学生自己去构造操作的方法。

  [12届决赛]下图是一个9×9的方格图,由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格,其中,有一些方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数,使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复,然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数,并且简单说明理由。

  【答案】327468951.

  【知识点】逻辑推理---数独

  【分析】用(a,b)表示第a行第b列的方格,第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、7、9,所以方格(6,4)=8;第3行和第5 行都有数字9,所以(7,4)=9;正中的“小九宫”中已有数字7,所以只能是(3,4)=7;此时,第4列中只余(5,4),这一列只有数字6未填,所以(5,4)=6。所以,第4列的数字从上向下写成的9位数是:327468951。

  【总结】这种题型考察的是生活中常见的数独,只要我们的学生接触过这类题,整体难度不会很大。对数独,只要多接触,方法自然而然的就会成型。

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