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第八届“素质杯”数学邀请赛六年级决赛题解析(二)

来源:石家庄奥数网整理      2012-01-16 13:20:52

  5、把11至50依次写成一排,形成一个多位数,1112131415161718…484950,从中划去40个数字,剩下的数字组成一个首位不是0的多位数,请问:剩下的数字按原顺序组成的多位数中,最小的数是 ____ 。

  解析:从11到50,共40个数,计80个数字。

  我们把这80个数字从左到右进行编号:1、2、3、4、5、6…78、79、80

  要想让剩下的40个数字按原顺序组成一个最小的多位数,就要各数位上的数字坚持选可能的最小的数的原则,而且是先高位再到低位来逐次选择的。

  最高位上的数字选择空间最大,从1至41号之间的数字均可供其选用,在这41个数字中,当然要选最小的,零没有意义,所以就选最小的1了。当好几个“1”存在的时候,为了给后面的兄弟多一些选择的空间,所以一定要选靠前的那个“1”。即,首位编号为“1”的数字“1”。

  第二位数的选择的空间是从编号2到编号42的数,尽管比道位晚了一步,但可以选择“0”做为自己的对象。所以,第二位数选编号为20的那个“0”。

  第三位数选择的是编号为40的那个“0”。

  第四位数的选择空间是,从编号第41的数到编号第44号的数字,在这里面的数字有:3、1、3、2,这里面已经没有“0”可供挑选了,只能选最小的编号为42的“1”了,

  第五位数的选择空间是,从编号第43到编号第45的数字,这里面有:3、2、3,自然是选择编号为44的“2”了。

  第六位数的选择空间是:从编号第45到编号46的数字,这里面有:3、3,这里选编号为45的“3”,

  第七位数的选择空间是:从编号第46到编号47的数字,这里面有:3、4,这里选编号为46的“3”,

  第八位数的选择空间是:从编号第47到编号48的数字,这里面有:4、3,这里选编号为48的“3”,

  后来还有32位数,而剩下的数字只有32个,谁也别挑了,赶上那个算那个吧。

  最后的结果是:1001233335363738394041424344454647484950

  6、

  解析:这是一道进位制问题,在我们的素质培训最后一课的的培训中,第一题和第二题都是进位制问题。比这道的难度要大些。这道只是一道进位制的转换,而不是进位制的计算。

  可以轻易判断,这是一道七进位制问题。

  变成十进位制就是:

  7×7×7×5+7×7×6+0+2=2011,正好扣在新的这个新的年号上。

  这让我们想起初赛时的第7题:

  有一摞卡片,每张上都写有一个只含有数字0--5的正整数,即从第一张开始,每张卡片上的数字依次为1,2,3,4,5,10,11,12,13,14,15,20,21,…,那么第438张卡片上写的正整数是 _____。  

  解析:我认为,这道题是这套卷上最出彩的一道题,堪称经典之作。

  这道题可以用分类计数方法求出答案:

  用0,1,2,3,4,5,这6个数字,

  能组成的一位数,原题中已给出,共5个;

  能组成的两位数有:         5*6=30个;

  能组成的三位数有:      5*6*6=180个;

  5+30+180=215个,即数到了第215张卡片了。

  再看用这些数字组成的四位数,

  先看当最高位为1时能组成的四位数有:1*6*6*6=216个。

  216+215=431,距离第438张卡片还有7张,可以逐一数出来。

  第432张是2000

  第433张是2001

  第434张是2002

  第435张是2003

  第436张是2004

  第437张是2005

  第438张是2010,非常完美地扣在2010这个年份上。

  另外,这道题也可以用进位制的方法来求出答案。

  这其实是一道六进制的题,可以表述为:“把十进制数438转化成成六进制数是多少”。

  我们可以通过得到如下短除算式:

   所以,我们所要求的数是:2010。

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