第八届“素质杯”数学邀请赛五年级决赛题解析（三）

　　二、解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）

　　7、定义两种运算“△”、“☆”，对于任意两个整数 a、b，a△b=2a+b；a☆b=a×b-5

　　㈠计算：3△4=  10     ；2☆10=   15

　　㈡计算：4☆[（6△8）△（3△5）]的值。

　　=4☆[20△11]

　　=4☆51=199

　　8、两个自然数x、y的最大公因数是118，最小公倍数118118，这两个自然数的差最小是多少？

　　解析：两个自然数的积=它们两个的最大公约数与最小公倍数和乘积。

　　118118÷118=1001

　　1001=1×1001=7×143=11×91=13×77

　　13与77之间相差最小，所以。这两上自然数的差的最小值是：

　　（77-13）×118=7552

　　9、一个水池有一个进水管，打开它60分钟将空水池灌满，现在在水池的正中间高度并排打2个孔，如果打开一个孔和进水管，那么70分钟可将空水池灌满，（假设每个孔的出水速度相同且恒定不变，设进水管每分钟的进水量为单位“1”）   

　　（1）每个孔每分钟的漏水量是多少？

　　（2）如果打开两个孔和进水管，那么每分钟的进水量是多少？

　　（3）如果打开两个孔和进水管，多少分钟能够将空水池灌满？

　　解析：进水管每分钟的进水量为1份，那么，60分钟的进水量就是60份，即水池的容量是60份。

　　因为漏水孔开在水池的半腰处，所以，只有当水池里的水到达半腰后，漏水孔才会开始漏水。

　　也就是前30分钟之内进水管出来的30份水，全部留水池里；

　　后40分钟流出来的40份水只留下来了30份在水池，被半腰处的孔漏掉了10份水，这10份水是在40分钟内漏的，由此我们知道，每个孔每分钟的漏水量是四分之一份。

　　关于这道题的第二问，可以有好几种理解：

　　第一种：是从进水管里每分钟进入到水池里的水有多少，这种理解似乎有点多此一举，因为题中已明确告诉进水管每分钟的进水量为单位“1”，如果回答是每分钟进水量是1份水的话，没有什么意义；

　　第二种：是说打开两个孔和进水管后，到完全灌满水池，平均每分钟的进水量是多少？但要出这个平均值，首先应该知道用了多少时间把水池灌满（总容量除以总时间），但这个问题是第三步才要解决的问题，也不太合题意。

　　第三种：是说当两个孔开始漏水后，每分钟实际给水池注入的水量。我想这应该才是命题者的本意。

　　每个孔每分钟漏掉四分之一份的水，两个孔每分钟则漏掉二分之一份的水；而进水管每分钟有一份流出，所以，最后留在水池的水量是二分之一份水。

　　无论打开一个孔也好，打开两个孔也好，甚至不打开孔也好，在前30分钟的时间内，都能把水灌到下半池至半腰孔处。之后，如果两个孔都打开的话，则每分钟有半份水留在水池，30份水则需要60分钟的时间。

　　30+60=90（分钟）

　　10、两辆电动小汽车在周长为400米的圆形跑道上不断行驶，甲车比乙车快，每分钟行驶20米，甲、乙两车同时分别从相距100米的A、B两点，相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好回到A点，问：

　　（1）甲、乙两车第一次相遇时，甲车所行驶的路程是多少米？

　　（2）乙车的速度是多少？

　　（3）此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分钟与乙车相遇？

　　解析：两车第一次相遇时，甲车所行的路程是：400/2=200（米）

　　乙车的速度：20/2=10米/分钟

　　100/（10+20）=10/3（分钟）