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第八届“素质杯”数学邀请赛五年级决赛题解析(三)

来源:石家庄奥数网整理      2012-01-16 14:15:03

  二、解答题(本大题共4个小题,每小题10分,共40分)

  7、定义两种运算“△”、“☆”,对于任意两个整数 a、b,a△b=2a+b;a☆b=a×b-5

  ㈠计算:3△4=  10     ;2☆10=   15

  ㈡计算:4☆[(6△8)△(3△5)]的值。

  =4☆[20△11]

  =4☆51=199

  8、两个自然数x、y的最大公因数是118,最小公倍数118118,这两个自然数的差最小是多少?

  解析:两个自然数的积=它们两个的最大公约数与最小公倍数和乘积。

  118118÷118=1001

  1001=1×1001=7×143=11×91=13×77

  13与77之间相差最小,所以。这两上自然数的差的最小值是:

  (77-13)×118=7552

  9、一个水池有一个进水管,打开它60分钟将空水池灌满,现在在水池的正中间高度并排打2个孔,如果打开一个孔和进水管,那么70分钟可将空水池灌满,(假设每个孔的出水速度相同且恒定不变,设进水管每分钟的进水量为单位“1”)   

  (1)每个孔每分钟的漏水量是多少?

  (2)如果打开两个孔和进水管,那么每分钟的进水量是多少?

  (3)如果打开两个孔和进水管,多少分钟能够将空水池灌满?

  解析:进水管每分钟的进水量为1份,那么,60分钟的进水量就是60份,即水池的容量是60份。

  因为漏水孔开在水池的半腰处,所以,只有当水池里的水到达半腰后,漏水孔才会开始漏水。

  也就是前30分钟之内进水管出来的30份水,全部留水池里;

  后40分钟流出来的40份水只留下来了30份在水池,被半腰处的孔漏掉了10份水,这10份水是在40分钟内漏的,由此我们知道,每个孔每分钟的漏水量是四分之一份。

  关于这道题的第二问,可以有好几种理解:

  第一种:是从进水管里每分钟进入到水池里的水有多少,这种理解似乎有点多此一举,因为题中已明确告诉进水管每分钟的进水量为单位“1”,如果回答是每分钟进水量是1份水的话,没有什么意义;

  第二种:是说打开两个孔和进水管后,到完全灌满水池,平均每分钟的进水量是多少?但要出这个平均值,首先应该知道用了多少时间把水池灌满(总容量除以总时间),但这个问题是第三步才要解决的问题,也不太合题意。

  第三种:是说当两个孔开始漏水后,每分钟实际给水池注入的水量。我想这应该才是命题者的本意。

  每个孔每分钟漏掉四分之一份的水,两个孔每分钟则漏掉二分之一份的水;而进水管每分钟有一份流出,所以,最后留在水池的水量是二分之一份水。

  无论打开一个孔也好,打开两个孔也好,甚至不打开孔也好,在前30分钟的时间内,都能把水灌到下半池至半腰孔处。之后,如果两个孔都打开的话,则每分钟有半份水留在水池,30份水则需要60分钟的时间。

  30+60=90(分钟)

  10、两辆电动小汽车在周长为400米的圆形跑道上不断行驶,甲车比乙车快,每分钟行驶20米,甲、乙两车同时分别从相距100米的A、B两点,相背而行,相遇后乙车立即返回,甲车不改变方向,当乙车到达B点时,甲车过B点后恰好回到A点,问:

  (1)甲、乙两车第一次相遇时,甲车所行驶的路程是多少米?

  (2)乙车的速度是多少?

  (3)此时甲车立即返回(乙车过B点继续行驶),再过多少分钟与乙车相遇?

  解析:两车第一次相遇时,甲车所行的路程是:400/2=200(米)

  乙车的速度:20/2=10米/分钟

  100/(10+20)=10/3(分钟)

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