小学数学典型应用题类型分析和解题思路(15)

　　28、公约公倍问题

　　【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

　　【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

　　【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

　　例1一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？

　　解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

　　60和56的最大公约数是4。

　　答：正方形的边长是4厘米。

　　例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

　　解要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。

　　答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

　　例3一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？

　　解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

　　所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）

　　答：至少要植26棵树。

　　例4一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

　　解如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为

　　60×3＋1＝181（个）

　　答：棋子的总数是181个。

　　29、最值问题

　　【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

　　【数量关系】一般是求最大值或最小值。

　　【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。

　　例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

　　解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。

　　答：最少需要9分钟。

　　例2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？

　　解我们采用尝试比较的方法来解答。

　　集中到1号场总费用为1×200×10＋1×400×40＝18000（元）

　　集中到2号场总费用为1×100×10＋1×400×30＝13000（元）

　　集中到3号场总费用为1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）

　　集中到4号场总费用为1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）

　　集中到5号场总费用为1×100×40＋1×200×30＝10000（元）

　　经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。

　　答：集中到5号煤场费用最少。

　　例3北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，

　　若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？

　　解北京调运到重庆的运费最高，因此，北京

　　往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调

　　往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为

　　500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）

　　答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。