小学数学典型应用题类型分析和解题思路(8)

　　14、盈亏问题

　　【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

　　【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

　　参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

　　如果两次都盈或都亏，则有：

　　参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

　　参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

　　【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

　　解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

　　（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

　　（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）

　　答：有小朋友12人，有47个苹果。

　　例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

　　解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

　　原定完成任务的天数为

　　（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）

　　这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

　　答：这条路全长7800米。

　　例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

　　解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

　　（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）

　　（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）

　　答：有6辆车，有270人。

　　15、工程问题

　　【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

　　【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

　　工作量＝工作效率×工作时间

　　工作时间＝工作量÷工作效率

　　工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

　　【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

　　例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

　　解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

　　由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

　　答：两队合做需要6天完成。

　　例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

　　解设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

　　（1）每小时甲比乙多做多少零件？

　　24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）

　　（2）这批零件共有多少个？

　　7÷（1/6－1/8）＝168（个）

　　答：这批零件共有168个。

　　解二上面这道题还可以用另一种方法计算：

　　两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3

　　由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7

　　所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）

　　例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

　　解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

　　60÷12＝560÷10＝660÷15＝4

　　因此余下的工作量由乙丙合做还需要

　　（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

　　答：还需要5小时才能完成。

　　例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

　　解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

　　要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

　　我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知

　　每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

　　即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

　　一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15

　　又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，

　　所以，2小时内注满一池水

　　至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）

　　＝8.5≈9（个）

　　答：至少需要9个进水管。